几类非线性最优控制问题混合有限元方法研究

最优控制问题在很多领域中具有广泛的应用，因此研究最优控制问题的数值求解具有十分重要的理论意义和实际价值。由于大量最优控制问题计算规模巨大，对求解速度要求很高，因此提高最优控制问题的计算效率是急需解决的重要问题。在现有的很多文献中，主要采用的是标准有限元来研究这些最优控制问题，然而对于某些特定的问题，混合有限元有着不可替代的优势。本书中，我们将研究几类非线性最优控制问题混合有限元解的先验和后验误差估计。第一部分，我们研究了非线性椭圆最优控制问题。首先利用变分原理得到非线性椭圆最优控制问题的最优性条件，建立了非线性最优控制问题的混合有限元离散格式，采用Taylor展开的积分形式处理误差方程的非线性项，得到了非线性最优控制问题混合有限元解的先验误差估计。基于Helmoholtz分解和Bubble函数等思想，并结合一些非线性误差方程线性化的技巧和一些辅助非线性方程的先验误差估计，得到了非线性椭圆最优控制问题混合有限元解的后验误差估计。第二部分，我们研究了非线性抛物最优控制问题。首先，引入一种椭圆混合元投影算子和一些相应的先验误差估计，构造一些中间变量和相应的误差方程, 得到非线性抛物最优控制问题混合有限元解的先验误差估计。接着，利用一些辅助抛物问题的稳定性结论，结合Gronwall引理，得到了非线性抛物最优控制问题全离散混合有限元解的后验误差估计。